Matemáticas

Grado y Doble Grado. Curso 2024/2025.

ECUACIONES ALGEBRAICAS - 800591

Curso Académico 2024-25

Datos Generales

SINOPSIS

COMPETENCIAS

Generales
CG1, CG2, CG3, CG4 (véase la descripción de las competencias en la ficha de la titulación)
Transversales
CT1, CT2, CT3, CT4, CT5 (véase la descripción de las competencias en la ficha de la titulación)
Específicas
Manejo de extensiones algebraicas de cuerpos. Manejo de cuerpos finitos.
Manejo de los grupos finitos de orden pequeño que aparecen en la teoría de resolución de ecuaciones.
Cálculo de los grupos de Galois de ecuaciones de grado pequeño.
Manejo de las distintas extensiones de cuerpos.
Resolución de ecuaciones polinómicas por radicales

ACTIVIDADES DOCENTES

Clases teóricas
Si
Seminarios
1 hora semanal de resolución de problemas por parte del profesor.
Clases prácticas
Si
Laboratorios
No

Breve descriptor:

Introduccion a la teoria de cuerpos y la teoria de Galois

Requisitos

Se recomienda haber superado la asignatura de Estructuras Algebraicas.

Objetivos

Ser capaces de aprender los conceptos basicos de la teoria de cuerpos y de la teoria de Galois.

Contenido

1. Polinomios en varias variables. Las funciones simetricas elementales. Formulas de Cardano. Polinomios simetricos: teorema fundamental. Resultante y discriminante. 2. Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas y trascendentes. Cuerpo de descomposicion; existencia y unicidad. Teorema del elemento primitivo. 3. Cuerpos finitos: elementos primitivos. El cuerpo de p^n elementos esta formado por las raices del polinomio t^{p^n}-t. 4. Grupo de Galois de una extension finita. Las extensiones de Galois son los cuerpos de descomposicion. Teorema fundamental de la teoria de Galois. 5. Grupos resolubles y extensiones radicales. Teorema de Abel-Galois: Un polinomio es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble. 6. Grupo de Galois de los polinomios t^n-a, de los polinomios ciclotomicos y de los polinomios de grado 2, 3 y 4. El problema inverso: el grupo simetrico S_p y los grupos ciclicos finitos como grupos de Galois sobre Q. La ecuacion general de grado n.

Evaluación

Para obtener información acerca del aprovechamiento de cada alumno a lo largo del curso se tendrán en cuenta la elaboración de trabajos, exposiciones en clase, pruebas escritas, entregas de problemas y la evaluación in situ del estudiante en base a su participación en la clase. La evaluación de estas actividades supondrá al menos un 20% de la calificación final pudiendo llegar hasta un 40% si hubiera circunstancias que así lo aconsejaran. El resto de la calificación, entre el 80% y el 60%, será en base al examen final.

Bibliografía

D.A. Cox: Galois Theory, Wiley, 2004.

J.F. Fernando, J.M Gamboa: Ecuaciones Algebraicas. Extensiones de cuerpos y teoría de Galois. Editorial Sanz y Torres. Madrid: 2017.

I. Stewart: Galois Theory, Chapman & Hall, 2003.

Bibliografia complementaria:

E. Artin: Galois Theory, Notre Dame, 1942 (Dover, 1998).

F. Delgado, C. Fuertes, S. Xambo, Introducción al Algebra, vol. 1,2 y 3, Univ. de Valladolid, 2000.

J.M. Gamboa, J.M Ruiz, Anillos y cuerpos conmutativos, 3a edición, Cuadernos de la UNED, 2000.

T.W. Hungerford, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 73, Springer¿Verlag, 1974.

R. Lidl - H. Niederreiter: Intro to finite fields and their applications. Cambridge University Press, 3º edition (2000).

K. Spindler: Abstract Algebra with Applications, Marcel Dekker, 1994.

J. P. Tignol: Galois Theory of Algebraic Equations, World Scientific, 2001.

Estructura

MódulosMaterias
CONTENIDOS INTERMEDIOSECUACIONES ALGEBRAICAS

Grupos

Clases teóricas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo m20/01/2025 - 09/05/2025LUNES 10:00 - 11:00B04JOSE MANUEL GAMBOA MUTUBERRIA
MIÉRCOLES 09:00 - 10:00B08JOSE MANUEL GAMBOA MUTUBERRIA
Grupo t120/01/2025 - 09/05/2025LUNES 16:00 - 17:00S-109PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
MIÉRCOLES 16:00 - 17:00S-109PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
Grupo t220/01/2025 - 09/05/2025LUNES 17:00 - 18:00S-116PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
MIÉRCOLES 17:00 - 18:00S-116PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ


Clases prácticas
GrupoPeriodosHorariosAulaProfesor
Grupo m20/01/2025 - 09/05/2025MIÉRCOLES 10:00 - 11:00B08JOSE MANUEL GAMBOA MUTUBERRIA
JUEVES 11:00 - 12:00B08JOSE MANUEL GAMBOA MUTUBERRIA
Grupo t120/01/2025 - 09/05/2025MARTES 16:00 - 17:00S-109PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
JUEVES 16:00 - 17:00S-109PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
Grupo t220/01/2025 - 09/05/2025MARTES 17:00 - 18:00S-116PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ
JUEVES 17:00 - 18:00S-116PEDRO DANIEL GONZALEZ PEREZ